Exercice1 :
Dans le repère orthonormé \( (O, I, J) \), on considère les deux points \( A(0;5) \) et \( B(4;2) \).
- Déterminer les coordonnées du point \( K \) le milieu du segment \([OB]\).
- Calculer \( AB \).
1) Déterminer les coordonnées du point \( K \) le milieu du segment \([OB]\).
On a : \( K \) le milieu du segment \([OB]\)
Alors :
\( x_K = \frac{x_O + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_K = \frac{y_O + y_B}{2} \)
\( x_K = \frac{0 + 4}{2} = 2 \quad \text{et} \quad y_K = \frac{0 + 2}{2} = 1 \)
Donc, \( \mathbf{K(2;1)} \).
2) Calculons la distance \( AB \).
\( AB = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2} \)
\( \quad = \sqrt{(4 – 0)^2 + (2 – 5)^2} \)
\( \quad = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \)
\( \quad = \sqrt{25} = 5 \)
Exercice2 :
Dans le repère orthonormé \( (O, I, J) \), on considère les trois points \( A(4,3) \), \( B(-2,1) \) et \( C(-3,-1) \).
1) Calculer les coordonnées de \( \overrightarrow{BC} \).
2) Calculer les coordonnées de \( D \) sachant que \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \).
1) Calcul des coordonnées de \( \overrightarrow{BC} \)
On a :
\(
\overrightarrow{BC} (x_C – x_B, y_C – y_B)
\)
Alors :
\(
\overrightarrow{BC} (-3 – (-2), -1 – 1)
\)Donc
\(
\overrightarrow{BC} (-1, -2)
\)
2) Calcul des coordonnées de \( D \) sachant que \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \)
On a : \( \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \) et \(
\overrightarrow{BC} (-1, -2)
\)
Alors :
\(
x_D – x_A= -1 \) et \( y_D – y_A=-2 \)
Donc :
\(
x_D – 4 = -1\) et \( y_D – 3 = -2
\)
\(
x_D = 3 \) et \( y_D = 1
\)
Donc, les coordonnées de \( D \) sont :
\(
D(3, 1)
\)
Exercice3 :
Dans le repère orthonormé \( (O, I, J) \) , On considère les points \( A(1,2) \), \( B(4,4) \) et \( D(6,1) \).
Déterminer les coordonnées du point \( E \) pour que \( ABDE \) soit un parallélogramme.
Soit \( E(x,y) \)
On a \( ABDE \) est un parallélogramme
Alors \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED} \)
On a \( \overrightarrow{AB}(3,2) \) et \( \overrightarrow{ED}(6 – x, 1 – y) \)
alors \( 6 – x = 3 \) et \( 1 – y = 2 \)
Donc \( x = 3 \) et \( y = -1 \)
alors \( E(3, -1) \)
Exercice4 :
1) On considère les points \( A(-1,0) \), \( B(0,2) \), \( C(-2,-2) \).
Montrer que \( B \in (AC) \)
2) On considère les points \( E(2,-2) \), \( F(5,1) \), \( G(-2,-1) \), \( H(6,7) \).
Les droites \( (EF) \) et \( (HG) \) sont-elles parallèles ?
Soit \( E(x,y) \)
On a \( ABDE \) est un parallélogramme
Alors \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED} \)
On a \( \overrightarrow{AB}(3,2) \) et \( \overrightarrow{ED}(6 – x, 1 – y) \)
alors \( 6 – x = 3 \) et \( 1 – y = 2 \)
Donc \( x = 3 \) et \( y = -1 \)
alors \( E(3, -1) \)
