Chapitre : Équation d’une droite —— 3ème année collège

On considère la droite \( (D) \) d’équation : \( y = 3x – 1 \)

1. Déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite \( (D) \).
2. Est-ce que le point \( A(-1 ; 4) \) appartient à la droite \( (D) \) ?
3. Déterminer la valeur de \( \alpha \) tel que : \( B(\alpha ; 3) \) appartient à la droite \( (D) \).

On considère la droite \( (D) \) d’équation : \( y = 3x – 1 \).

1. Déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite \( (D) \).
   L’équation s’écrit sous la forme \( y = mx + b \).
   Ainsi, le coefficient directeur est \( m = 3 \) et l’ordonnée à l’origine est \( b = -1 \).

2. Vérifier si le point \( A(-1 ; 4) \) appartient à la droite \( (D) \).
   On remplace \( x = -1 \) dans \( y = 3x – 1 \) :
   \( y = 3 \times (-1) – 1 = -3 – 1 = -4 \).
   Comme le point \( A \) a \( y = 4 \) et non \( -4 \), Alors \( A \) n’appartient pas à \( (D) \).

3. Déterminer la valeur de \( \alpha \) telle que \( B(\alpha ; 3) \) appartienne à \( (D) \).
   On a \( B(\alpha ; 3) \) un point de \( (D) \) et \( (D) : y = 3x – 1 \).
   Alors \( 3 = 3\alpha – 1 \).
   Donc : \( 3 + 1 = 3\alpha \)
   \( 4 = 3\alpha \).
   D’où \( \alpha = \frac{4}{3} \).

On considère la droite \((D)\) d’équation :\( -6x + 3y – 12 = 0 \)

1. Déterminer l’équation réduite de la droite \((D)\).
2. Déterminer le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine de la droite \((D)\).

1) Équation réduite de la droite \((D)\)
L’équation réduite s’exprime sous la forme \(y = mx + b\).
Partant de l’équation initiale :
\(-6x + 3y – 12 = 0\)
On isole le terme en \(y\) :
\(3y = 6x + 12\)
Puis, on divise chaque membre par \(3\) :
\(y = \frac{6x}{3} + \frac{12}{3}\)
\(y = 2x + 4\)
D’où L’équation réduite de la droite \((D)\) est \(y = 2x + 4\).

2) Coefficient directeur et ordonnée à l’origine
Dans la forme \(y = mx + b\), le coefficient directeur est \(m\) et l’ordonnée à l’origine est \(b\).
Or \((D)\) : \(y = 2x + 4\)
Alors \(m = 2\) et \(b = 4\)

On considère les points \( A(1 ; -1) \), \( B(2 ; 1) \).

Déterminer l’équation réduite de \((AB)\).

Soit la droite \((AB)\) définie par les points \(A(1, -1)\) et \(B(2, 1)\).
Nous allons déterminer l’équation réduite de \((AB)\) pas à pas.

1) Calcul du coefficient directeur

Le coefficient directeur \(m\) d’une droite passant par deux points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\) est donné par :
\(\ m = \frac{y_B – y_A}{x_B – x_A}.\)
Ici, \(A(1, -1)\) et \(B(2, 1)\). On remplace :
\(\ m = \frac{1 – (-1)}{2 – 1} = \frac{1 + 1}{1} = 2.\)

2) Détermination de l’ordonnée à l’origine

L’équation réduite d’une droite s’écrit sous la forme \(\ y = mx + b,\) où \(m\) est le coefficient directeur et \(b\) l’ordonnée à l’origine.
Nous avons trouvé \(\ m = 2.\) Pour trouver \(\ b,\) on utilise les coordonnées d’un des points, par exemple le point \(A(1, -1)\), et on remplace \(\ x = 1,\ y = -1\) dans \(\ y = 2x + b\) :
\(\ -1 = 2 \times 1 + b \quad \Longrightarrow \quad -1 = 2 + b.\)
On résout pour \(\ b\) :
\(\ b = -1 – 2 = -3.\)

3) Équation réduite de \((AB)\)

En réassemblant \(\ m = 2\) et \(\ b = -3,\) on obtient :
\(\ \boxed{y = 2x – 3}.\)
C’est l’équation réduite de la droite \((AB)\).

Déterminer l’équation réduite de la droite \( (D) \) passant par le point \( C(0,2) \) et perpendiculaire à la droite \( (\Delta) : y = 4x + 3 \)

on a \( (\Delta) : y = 4x + 3 \) alors le coefficient directeur de \( (\Delta) \) est \( a = 4 \)

L’équation réduite de la droite \( (D) \) s’écrit sous la forme : \( y = a’ x + b \)

* Déterminons \( a’ \)

Comme \( (D) \) et \( (\Delta) \) sont perpendiculaires, alors le produit de leurs coefficients directeurs est égal à \(-1\).
C’est-à-dire \( a \times a’ = -1 \).
Cela signifie que \( 4 \times a’ = -1 \).
D’où \( a’ = \frac{-1}{4} \).
Finalement, l’équation est : \( y = -\frac{1}{4} x + b’ \).

* Déterminons \( b’ \)

Le point \( C(0,2) \) appartient à \( (D) \),
donc : \( y_C = a’ x_C + b’ \)
\( 2 = -\frac{1}{4} \times 0 + b’ \)
D’où \( b’ = 2 \).

Finalement, l’équation réduite de la droite \( (D) \) est : \( y = -\frac{1}{4} x + 2 \)

Déterminer l’équation réduite de la droite \( (D) \) passant par le point \( C(1,2) \) et paralléle à la droite \( (\Delta) : y = -2x + 3 \)

on a \( (\Delta) : y = -2x + 3 \) alors le coefficient directeur de \( (\Delta) \) est \( a = -2 \)

L’équation réduite de la droite \( (D) \) s’écrit sous la forme : \( y = a’x + b’ \)

* Déterminons \( a’ \) :

On a \( (D) \) // \( (\Delta) \)
donc ils ont le même coefficient directeur.
D’où \( a’ = a = -2 \).

Donc, l’équation de la droite \( (D) \) est : \( y = -2x + b’ \)

* Déterminons \( b’ \) :

Le point \(C(1, 2) \) appartient à la droite \( (D) \).
Alors, \( y_C = -2x_C + b’ \)
\( 2 = -2 \times 1 + b’ \)
D’où \( b’ = 4 \).

Finalement, l’équation réduite de la droite \( (D) \) est : \( y = -2x + 4 \)